평면의 방정식과 여러가지에 대해서..
2026 Aug 07
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평면의 방정식과 여러가지에 대해서..
평면의 방정식..
기본적으로 다음과 같은 형태의 방정식으로 평면을 설정한다.
\[ax+by+cz=d\]
평면이라는것은 기본적으로 한점을 지나고 특정방향과 수직인 모든 점들의 모임이다.
따라서 평면 위의 고정된 한 점을 \(A(x_0,y_0,z_0)\)고, 평면위를 움직이는 임의의 점을 \(P(x,y,z)\)라 한다면
평면 위에 놓인 위치 벡터 \(\vec{AP}\) 는 다음과 같다.
\[ AP=(x-x_0, y-y_0, z-z_0) \]
그리고 수직조건은 내적으로 해결하면 된다.
\(\vec{n}=(a,b,c)\)는 평면과 수직이여야하니, 평면 위에 존재하는 모든 벡터 \(\vec{AP}\) 와도 수직이여야한다.
\[ n \cdot AP =0 \]
\[ (\therefore) \quad ax+by+cz-(ax_0+by_0+cz_0)=0 \]
\(\vec{n}=(a,b,c)\)를 따라서 평면의 법선 벡터라고 바로 사용하도 된다.
세평면의 위치 관계..
말그대로 세평면이 교차할때의 상황에 대해서 말한다..
가장 일반적인 경우는 두평면은 교선을 형성하고 나머지 한 평면이 교점을 형성하는것이다.
이런 상황에서의 \(AX=B\)의 유일해는 다음과 같다.
\[X=A^{-1}B\]
다만 만약 나머지 한 평면이 두평면이 형성한 교선에 교점을 이루지 않는다면 어떻게 될까..
만약 두 평면이 형성한 교선이 \(P_1 \cap P_2\)이고 \(P_3 \subseteq P_1 \cap P_2\) 이라면 무수히 많은해를 가질것이다. 또한 $P_1 \cap P_2 \cap P_3 = \varnothing $ 이라면 해가 없을것이다.
또한 세 평면이 모두 동일한 식이라면 해는 평면 전체가 될것이다.
3x3 선형 시스템 AX=B에서 가역행렬 정리와 평면의 위치 관계는 의미가 있다.
\(\det(A) \neq 0\) 이면 가역(Non-singular) 하니 역행렬이 존재한다. 따라서 \(X=A^{-1}B\)를 통해 단 하나의 유일해가 결정된다. \(\leftrightarrow\) 세 평면이 단 하나의 교점에서 만난다.
\(\det(A) = 0\)이면 비가역(Singular) 이니 역행렬 \(A^{-1}\) 이 존재하지 않아 해가 부정이거나 불능인 상황이다.
\(+\) 다변수 미적분의 내용을 뛰어 넘지만 선형대수학에서 \(\det(A)=0\) 이라는것은 세 평면의 법선벡터들이 서로 선형종속이 상태가 되어, 3차원 공간으로 퍼지지 못하고 갇혀있어, 세 평면이 한점에서 딱 만나지 못한다는것이다.
동차 연립방정식
\(AX=0\) 인 경우로, 기하학적으로는 모든 평면이 무조건 \((0,0,0)\) 을 지난다는것이다.
\(\rightarrow\) 이경우 당연히 해는 반드시 있을것이다. 최소한 \(X=\mathbf{0}\) 를 넣으면 반드시 성립한다. 이를 자명해 (Trivial Solution) 이라 한다. 다만, 만약 \(\det(A) \neq 0\) 이면 해는 하나다: \(X=A^{-1}0=0;\) \(\quad\) \(\det(A) = 0\) 이면 선 혹은 평면을 형성하여 무수히 많은 해가 존재할것이다.
\(\det(A) = 0\) 의 의미는 \(\det(N_1, N_2, N_3) = 0\) 이고 \(N_i\) 는 평면 \(P_i\) 의 법선벡터이다. \(\det(N_1,N_2,N_3)\) 는 세 벡터를 모서리로 하는 평행육면체의 부피이다. 근데 부피를 잃고 면으로 찌그러졌다는것이다.
\(\rightarrow\) 이 경우 당연히 어떤 평면 위에 존재하는 해 \(P_1 \cap P_2 \cap P_3\) 는 \(N_1, N_2, N_3\) 과 모두 수직해야한다.
(\(\because)\) \(N_1, N_2, N_3\) 은 전부 어떤 하나의 평면 위에 갇혀있다(\(\det(A)=0\)). 또한 평면의 정의에 따르면 이 세 법선벡터들에 동시에 수직이 되려면 존재하는 해(교선)은 어떤 평면 위에 갇혀있는 법선벡터들을 수직하게 뚫을수 밖에없다.
\(\rightarrow\) \(N_i \times N_j\) 를 하면 교선의 방향이 나온다.
(\(\because\)) 두 벡터를 외적하면 두 벡터 모두에 동시에 수직인 새로운 벡터가 나온다. 구하려는 교선의 방향은 어차피 \(\det(A)=0\) 이기에 \(N_1, N_2, N_3\) 모두가 한 바닥 위에 같이 갇혀있기 때문에 단번에 찾아질수 있다.
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
평면의 방정식과 여러가지에 대해서..
2026 Aug 07 See all posts평면의 방정식..
기본적으로 다음과 같은 형태의 방정식으로 평면을 설정한다. \[ax+by+cz=d\] 평면이라는것은 기본적으로 한점을 지나고 특정방향과 수직인 모든 점들의 모임이다.
따라서 평면 위의 고정된 한 점을 \(A(x_0,y_0,z_0)\)고, 평면위를 움직이는 임의의 점을 \(P(x,y,z)\)라 한다면
평면 위에 놓인 위치 벡터 \(\vec{AP}\) 는 다음과 같다. \[ AP=(x-x_0, y-y_0, z-z_0) \]
그리고 수직조건은 내적으로 해결하면 된다. \(\vec{n}=(a,b,c)\)는 평면과 수직이여야하니, 평면 위에 존재하는 모든 벡터 \(\vec{AP}\) 와도 수직이여야한다.
\[ n \cdot AP =0 \] \[ (\therefore) \quad ax+by+cz-(ax_0+by_0+cz_0)=0 \]
\(\vec{n}=(a,b,c)\)를 따라서 평면의 법선 벡터라고 바로 사용하도 된다.
세평면의 위치 관계..
말그대로 세평면이 교차할때의 상황에 대해서 말한다..
가장 일반적인 경우는 두평면은 교선을 형성하고 나머지 한 평면이 교점을 형성하는것이다. 이런 상황에서의 \(AX=B\)의 유일해는 다음과 같다.
\[X=A^{-1}B\]
다만 만약 나머지 한 평면이 두평면이 형성한 교선에 교점을 이루지 않는다면 어떻게 될까..
만약 두 평면이 형성한 교선이 \(P_1 \cap P_2\)이고 \(P_3 \subseteq P_1 \cap P_2\) 이라면 무수히 많은해를 가질것이다. 또한 $P_1 \cap P_2 \cap P_3 = \varnothing $ 이라면 해가 없을것이다.
또한 세 평면이 모두 동일한 식이라면 해는 평면 전체가 될것이다.
3x3 선형 시스템 AX=B에서 가역행렬 정리와 평면의 위치 관계는 의미가 있다.
\(\det(A) \neq 0\) 이면 가역(Non-singular) 하니 역행렬이 존재한다. 따라서 \(X=A^{-1}B\)를 통해 단 하나의 유일해가 결정된다. \(\leftrightarrow\) 세 평면이 단 하나의 교점에서 만난다.
\(\det(A) = 0\)이면 비가역(Singular) 이니 역행렬 \(A^{-1}\) 이 존재하지 않아 해가 부정이거나 불능인 상황이다.
\(+\) 다변수 미적분의 내용을 뛰어 넘지만 선형대수학에서 \(\det(A)=0\) 이라는것은 세 평면의 법선벡터들이 서로 선형종속이 상태가 되어, 3차원 공간으로 퍼지지 못하고 갇혀있어, 세 평면이 한점에서 딱 만나지 못한다는것이다.
동차 연립방정식
\(AX=0\) 인 경우로, 기하학적으로는 모든 평면이 무조건 \((0,0,0)\) 을 지난다는것이다.
\(\rightarrow\) 이경우 당연히 해는 반드시 있을것이다. 최소한 \(X=\mathbf{0}\) 를 넣으면 반드시 성립한다. 이를 자명해 (Trivial Solution) 이라 한다. 다만, 만약 \(\det(A) \neq 0\) 이면 해는 하나다: \(X=A^{-1}0=0;\) \(\quad\) \(\det(A) = 0\) 이면 선 혹은 평면을 형성하여 무수히 많은 해가 존재할것이다.
\(\det(A) = 0\) 의 의미는 \(\det(N_1, N_2, N_3) = 0\) 이고 \(N_i\) 는 평면 \(P_i\) 의 법선벡터이다. \(\det(N_1,N_2,N_3)\) 는 세 벡터를 모서리로 하는 평행육면체의 부피이다. 근데 부피를 잃고 면으로 찌그러졌다는것이다.
\(\rightarrow\) 이 경우 당연히 어떤 평면 위에 존재하는 해 \(P_1 \cap P_2 \cap P_3\) 는 \(N_1, N_2, N_3\) 과 모두 수직해야한다. (\(\because)\) \(N_1, N_2, N_3\) 은 전부 어떤 하나의 평면 위에 갇혀있다(\(\det(A)=0\)). 또한 평면의 정의에 따르면 이 세 법선벡터들에 동시에 수직이 되려면 존재하는 해(교선)은 어떤 평면 위에 갇혀있는 법선벡터들을 수직하게 뚫을수 밖에없다.
\(\rightarrow\) \(N_i \times N_j\) 를 하면 교선의 방향이 나온다. (\(\because\)) 두 벡터를 외적하면 두 벡터 모두에 동시에 수직인 새로운 벡터가 나온다. 구하려는 교선의 방향은 어차피 \(\det(A)=0\) 이기에 \(N_1, N_2, N_3\) 모두가 한 바닥 위에 같이 갇혀있기 때문에 단번에 찾아질수 있다.