다변수함수,등고선 그리고 편미분과 여러가지..
2026 Aug 09
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다변수함수,등고선 그리고 편미분과 여러가지..
다변수함수
변수가 하나인 함수에서는.. 쉽게 일단 그래프를 그릴수 있을테고, 미분계수는 그 그래프의 접점에서의 기울기일것이다..
다만 변수가 여러 개인 경우에는, \(\mathbf{z=-y}\), \(\mathbf{z=1-x^2-y^2}\) 이런 함수로 예를들면 \(\mathbf{xy,yz,zx}\) 평면같은 좌표평면으로 자르면 나오는 2차원 선으로 그려낸뒤 이들을 이어 붙여 3차원 모형을 그려내면 쉽다.
혹은 등고선을 사용한다. \(\mathbf{f(x,y)=c}\) 을 사용하여 \(\mathbf{z=c}\) 의 높이에 맞춰 수평으로 잘라낸것과 같다. 수직으로 위에서 바라보면서 수평으로 잘라내서 함수의 높낮이를 구분 가능하기도 하다.
\(\rightarrow\) 마치 CT 촬영처럼 인체를 2D모양으로 잘라낸뒤 이어붙여 3D로 만들어내는것과 같다.
\(\mathbf{+}\) 등고선은 고정된 \(\mathbf{z}\) 값에 맞는 \(\mathbf{f(x,y)}\) 에 대응하는 모든 \(\mathbf(x,y)\) 를 일정한 주기에 맞춰 알아낼수 있다.
일정한 주기란, 높이 \(\mathbf{c}\)의 값을 \(\mathbf{c=10,20,30..}\)처럼 동일한 \(\Delta c\) 를 가지도록 하는것이다.
(\(\because\)) \(\Delta c\) 가 일정해야 2D 평면에 찍힌 선과 선의 간격을 보고 정보를 알아낼수 있다.(\(\mathbf{ex}\)) 선과 선 사이의 간격이 좁으면 기울기가 가파르다.
편미분
우선 기호와 정의는 다음과 같다.
\[
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}
\]
\(f_y\) 는 그냥 순서 바꿔하면 된다..
그냥 의미는 \(f_x\)의 경우에는 \(y=y_0\) 로 상수로써 고정해버리고 \(x\) 가 변화하는 정도만 계산하는거고 \(f_y\) 는 그반대일것이다..
계산은 그냥 \(f_x\)면 \(x\)는 변수 취급, \(y\)는 상수 취급이다..
Ex \(f(x,y) = x^3y+y^2\) \(\rightarrow\) \(f_x = 3x^2y\), \(f_y=x^3+2y\)
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
다변수함수,등고선 그리고 편미분과 여러가지..
2026 Aug 09 See all posts다변수함수
변수가 하나인 함수에서는.. 쉽게 일단 그래프를 그릴수 있을테고, 미분계수는 그 그래프의 접점에서의 기울기일것이다..
다만 변수가 여러 개인 경우에는, \(\mathbf{z=-y}\), \(\mathbf{z=1-x^2-y^2}\) 이런 함수로 예를들면 \(\mathbf{xy,yz,zx}\) 평면같은 좌표평면으로 자르면 나오는 2차원 선으로 그려낸뒤 이들을 이어 붙여 3차원 모형을 그려내면 쉽다.
혹은 등고선을 사용한다. \(\mathbf{f(x,y)=c}\) 을 사용하여 \(\mathbf{z=c}\) 의 높이에 맞춰 수평으로 잘라낸것과 같다. 수직으로 위에서 바라보면서 수평으로 잘라내서 함수의 높낮이를 구분 가능하기도 하다.
\(\rightarrow\) 마치 CT 촬영처럼 인체를 2D모양으로 잘라낸뒤 이어붙여 3D로 만들어내는것과 같다.
\(\mathbf{+}\) 등고선은 고정된 \(\mathbf{z}\) 값에 맞는 \(\mathbf{f(x,y)}\) 에 대응하는 모든 \(\mathbf(x,y)\) 를 일정한 주기에 맞춰 알아낼수 있다.
일정한 주기란, 높이 \(\mathbf{c}\)의 값을 \(\mathbf{c=10,20,30..}\)처럼 동일한 \(\Delta c\) 를 가지도록 하는것이다.
(\(\because\)) \(\Delta c\) 가 일정해야 2D 평면에 찍힌 선과 선의 간격을 보고 정보를 알아낼수 있다.(\(\mathbf{ex}\)) 선과 선 사이의 간격이 좁으면 기울기가 가파르다.
편미분
우선 기호와 정의는 다음과 같다.
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}} \] \(f_y\) 는 그냥 순서 바꿔하면 된다..
그냥 의미는 \(f_x\)의 경우에는 \(y=y_0\) 로 상수로써 고정해버리고 \(x\) 가 변화하는 정도만 계산하는거고 \(f_y\) 는 그반대일것이다..
계산은 그냥 \(f_x\)면 \(x\)는 변수 취급, \(y\)는 상수 취급이다..
Ex \(f(x,y) = x^3y+y^2\) \(\rightarrow\) \(f_x = 3x^2y\), \(f_y=x^3+2y\)