그라디언트와 방향미분.. 여러가지..
2026 Aug 10
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그라디언트와 방향미분.. 여러가지..
그라디언트
일단, \(\nabla{w}=\langle w_x,w_y,w_z \rangle\) \(\leftarrow\) 그라디언트 벡터이다..
그라디언트 벡터는 정의상 항상 가장 가파른 기울기를 뱉는 그런거다..
\(\nabla{w}\) 는 수준면 \(w=c\) 에 수직이다. 더불어 \(\nabla{w}\)는 항상 함수보다 큰 방향을 가리킨다..
(\(\because\)) 3차원 공간에 \(w=c\) 라는 값을 가지는 곡면이 있고 그 곡면 위를 이동하는 점의 위치를 \(\vec{r}(t) = \langle x(t),y(t),z(t) \rangle\) 이면 곡면 위의 점이 아무리 움직여도 점이 위치하는 \(w\)의 값은 \(c\)로 고정되어 있다.
시간 \(t\) 에 따라 점의 위치가 바뀔때 \(w\) 값의 변화율은 당연히 상수니 0이다.
\[
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial{w}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial{w}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial{w}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt} = 0
\]
위의 식은 정리하면.. \[\left( \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z} \right) \cdot \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \nabla w \cdot \vec{v} = 0\]
내적의 형태이다.. 보면 앞쪽은 그라디언트 벡터 \(\nabla{w}\)이고 뒤의 벡터는 점의 진행방향인 벡터이다. 따라서 정리하면.. 다음과 같은 형태다. \(\nabla w \cdot \vec{v}\)..
(\(\therefore\)) 내적했을때 0이면, \(\nabla w \perp \vec{v}\)
방향 미분
정의상.. \((x,y)\)이 임의적인 방향으로 움직일때의 \(w\)의 변화율이다. 마치 편미분과 비슷한것이다. 다만 축의 방향으로 하는것이 아니라 임의적인 방향이라는것이 다른것..
\[\left. \frac{dw}{ds} \right\vert{}_{u}\]
저 위의 표기는 궤도 \(\vec{r}\) 를 \(\hat{u}\) 방향으로 미분한거다..
\(\rightarrow\) 간단하게 생각해보면 뭔가 함수가 축 위에 있는데 그거를 \(\hat{u}\) 방향으로 가는 존나 큰 칼로 잘라서 잘린 그 선 따라서 기울기를 측정한 그런 거다..
\[\left. \frac{dw}{ds} \right\vert{}_{u} = \nabla{w} \cdot \frac{d\vec{r}}{ds} = \nabla{w} \cdot \hat{u}\]
다음과 같은 방식으로 계산하는데...
기하적으로, 설명을 해보자면.. \[\frac{dw}{ds} = \nabla w \cdot \mathbf{u} = \vert{}\nabla w\vert{} \vert{}\mathbf{u}\vert{} \cos\theta = \vert{}\nabla w\vert{} \cos\theta \quad (\text{단, } \vert{}\mathbf{u}\vert{}=1)\]
인데.. \(\cos\theta\)의 최댓값은 \(\theta = 0^\circ\)일 때 \(1\)이다.. \(\theta = 0^\circ\)가 단위벡터 \(\mathbf{u}\)가 \(\nabla w\)와 완벽히 같은 방향을 가리킬 때이다.. 근데 \(\nabla{w}\) 방향이 함수 \(w\)가 가장 가파르게 증가할때이다..
\(\cos\theta = 0\)이 되는 순간은 \(\theta = 90^\circ\), 즉 \(\mathbf{u}\)와 \(\nabla w\)가 서로 수직일때이다.. \(\nabla w\)와 수직인 방향으로 움직이면 높이 \(w\)가 전혀 변하지 않는다. 그 의미는, 높이가 변하지 않는 방향이라는 뜻은, 곧 동일한 높이를 잇는 등고선(등고면 \(w=c\))의 접선 방향으로 움직이고 있다는 말입니다.
\(\rightarrow\) 존나 당연한 말이다
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
그라디언트와 방향미분.. 여러가지..
2026 Aug 10 See all posts그라디언트
일단, \(\nabla{w}=\langle w_x,w_y,w_z \rangle\) \(\leftarrow\) 그라디언트 벡터이다..
그라디언트 벡터는 정의상 항상 가장 가파른 기울기를 뱉는 그런거다..
\(\nabla{w}\) 는 수준면 \(w=c\) 에 수직이다. 더불어 \(\nabla{w}\)는 항상 함수보다 큰 방향을 가리킨다..
(\(\because\)) 3차원 공간에 \(w=c\) 라는 값을 가지는 곡면이 있고 그 곡면 위를 이동하는 점의 위치를 \(\vec{r}(t) = \langle x(t),y(t),z(t) \rangle\) 이면 곡면 위의 점이 아무리 움직여도 점이 위치하는 \(w\)의 값은 \(c\)로 고정되어 있다.
시간 \(t\) 에 따라 점의 위치가 바뀔때 \(w\) 값의 변화율은 당연히 상수니 0이다. \[ \frac{dw}{dt} = \frac{\partial{w}}{\partial{x}}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial{w}}{\partial{y}}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial{w}}{\partial{z}}\frac{dz}{dt} = 0 \] 위의 식은 정리하면.. \[\left( \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z} \right) \cdot \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = \nabla w \cdot \vec{v} = 0\] 내적의 형태이다.. 보면 앞쪽은 그라디언트 벡터 \(\nabla{w}\)이고 뒤의 벡터는 점의 진행방향인 벡터이다. 따라서 정리하면.. 다음과 같은 형태다. \(\nabla w \cdot \vec{v}\)..
(\(\therefore\)) 내적했을때 0이면, \(\nabla w \perp \vec{v}\)
방향 미분
정의상.. \((x,y)\)이 임의적인 방향으로 움직일때의 \(w\)의 변화율이다. 마치 편미분과 비슷한것이다. 다만 축의 방향으로 하는것이 아니라 임의적인 방향이라는것이 다른것..
\[\left. \frac{dw}{ds} \right\vert{}_{u}\]
저 위의 표기는 궤도 \(\vec{r}\) 를 \(\hat{u}\) 방향으로 미분한거다..
\(\rightarrow\) 간단하게 생각해보면 뭔가 함수가 축 위에 있는데 그거를 \(\hat{u}\) 방향으로 가는 존나 큰 칼로 잘라서 잘린 그 선 따라서 기울기를 측정한 그런 거다..
\[\left. \frac{dw}{ds} \right\vert{}_{u} = \nabla{w} \cdot \frac{d\vec{r}}{ds} = \nabla{w} \cdot \hat{u}\]
다음과 같은 방식으로 계산하는데...
기하적으로, 설명을 해보자면.. \[\frac{dw}{ds} = \nabla w \cdot \mathbf{u} = \vert{}\nabla w\vert{} \vert{}\mathbf{u}\vert{} \cos\theta = \vert{}\nabla w\vert{} \cos\theta \quad (\text{단, } \vert{}\mathbf{u}\vert{}=1)\] 인데.. \(\cos\theta\)의 최댓값은 \(\theta = 0^\circ\)일 때 \(1\)이다.. \(\theta = 0^\circ\)가 단위벡터 \(\mathbf{u}\)가 \(\nabla w\)와 완벽히 같은 방향을 가리킬 때이다.. 근데 \(\nabla{w}\) 방향이 함수 \(w\)가 가장 가파르게 증가할때이다..
\(\cos\theta = 0\)이 되는 순간은 \(\theta = 90^\circ\), 즉 \(\mathbf{u}\)와 \(\nabla w\)가 서로 수직일때이다.. \(\nabla w\)와 수직인 방향으로 움직이면 높이 \(w\)가 전혀 변하지 않는다. 그 의미는, 높이가 변하지 않는 방향이라는 뜻은, 곧 동일한 높이를 잇는 등고선(등고면 \(w=c\))의 접선 방향으로 움직이고 있다는 말입니다.
\(\rightarrow\) 존나 당연한 말이다