라그랑주 승수법과.. 여러가지..
2026 Aug 10
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라그랑주 승수법과.. 여러가지..
라그랑주 승수법
라그랑주 승수법이라는것은 기본적으로 변수에 제한 조건이 존재할때 함수의 최대/최소를 찾는 그런거다..
\(\rightarrow\) 제한조건은 뭐 \(g(x,y,z)=c\) 이런 느낌으로 주어지는것이기도 하다..
(\(\because\)) 제한 조건이 존재할때에는 함수의 임계점을 찾는 일반적인 방법을 사용하는게 쉽지 않다.
라그랑주 승수법에 관해..
예를들어 \(g: x^2+y^2=1\) 일때 \(f: x+2y\) 의 최대를 구해야하면.. \(\nabla{g}=\langle 2x, 2y \rangle\), \(\nabla{f}=\langle 1,2 \rangle\) 일때, 라그랑주 승수법이라는거는 간단하게 말하면 \(f\)가 \(g\)에 접할때..
즉 \(\nabla{f}\) 의 상수배(\(\mathbf{\lambda}\))가 \(\nabla{g}\) 일때를 구하는거다.. 그래서 승수법 \(\leftrightarrow\) 상수배(\(\lambda\))
\[
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x=y
\end{cases}\]
이렇게 결론을 내면 될것이다..
\(\rightarrow\) 내가 이해한 대로 설명을 해보자면.. \(f\)를 뭔가 굴곡진 함수라고 생각하고 그걸 따라 이동한다 생각해보면.. 지금 있는곳에서 \(f\) 의 등고선이 함수를 뚫고지나가면 거기는 좀 더 앞으로 가면 높낮이가 선형으로 바뀌니깐 임계점이 일단 아니다. \(f\) 가 등고선과 접하는 부분(\(\mathbf{=}\) 높이의 변화가 0)인 부분이며,
제한조건 \(g\)가 맞닿는 부분, 접하는 부분이 제한조건 \(g\)를 만족하며 \(f\)의 임계점을 찾은것이다..
\[ \nabla{f}=\lambda \nabla{g}\]
이 수식이 \(f\)의 등고선과 \(g\)의 곡선이 접하고, 두 곡선이 접점에서 동일한 접선을 공유한다는 말이며, \(\lambda\) 에는 부호가 없다.
책에서 예시하나를 베껴보자면..
\(\sqrt{x^2+y^2}\) 를 \(xy=3\)의 제한 하에서 원점으로 부터의 거리를 최소화하려면... 거리는 일단 \(f(x,y)=x^2+y^2\)로하고 제한조건을 \(g(x,y)=xy=3\)으로 한다..
\(\rightarrow\) 라그랑주 승수법에 의해 \(\nabla{f}\) 랑 \(\nabla{g}\) 평행해야하니깐..
\[
\begin{cases}
f_x=\lambda g_x\\
f_y=\lambda g_y\\
g=c
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x=\lambda y\\
2y=\lambda x\\
xy=3
\end{cases}
\]
이걸 또 행렬로 변환하면..
\[
\begin{bmatrix}
2 & -\lambda \\
-\lambda & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[
(
M =
\begin{bmatrix}
2 & -\lambda \\
-\lambda & 2
\end{bmatrix}
)
\]
이라고 하면.. \(det(M)=0\) 일때 해가 존재한다!!
\(\therefore\) \(\lambda\) = \(\pm\) 2
\(\rightarrow\) 다만, 이것만 가지고 최대인지 최소인지 뭐 알수가 없다 이계도함수판정법도 제한 조건이 있으니 적용할수 없고 그냥 구한 \(\lambda\) 값을 가지고 직접 판단해봐야한다!!!..
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
라그랑주 승수법과.. 여러가지..
2026 Aug 10 See all posts라그랑주 승수법
라그랑주 승수법이라는것은 기본적으로 변수에 제한 조건이 존재할때 함수의 최대/최소를 찾는 그런거다..
\(\rightarrow\) 제한조건은 뭐 \(g(x,y,z)=c\) 이런 느낌으로 주어지는것이기도 하다..
(\(\because\)) 제한 조건이 존재할때에는 함수의 임계점을 찾는 일반적인 방법을 사용하는게 쉽지 않다.
라그랑주 승수법에 관해..
예를들어 \(g: x^2+y^2=1\) 일때 \(f: x+2y\) 의 최대를 구해야하면.. \(\nabla{g}=\langle 2x, 2y \rangle\), \(\nabla{f}=\langle 1,2 \rangle\) 일때, 라그랑주 승수법이라는거는 간단하게 말하면 \(f\)가 \(g\)에 접할때..
즉 \(\nabla{f}\) 의 상수배(\(\mathbf{\lambda}\))가 \(\nabla{g}\) 일때를 구하는거다.. 그래서 승수법 \(\leftrightarrow\) 상수배(\(\lambda\)) \[ \begin{cases} x^2+y^2=1\\ 2x=y \end{cases}\] 이렇게 결론을 내면 될것이다..
\(\rightarrow\) 내가 이해한 대로 설명을 해보자면.. \(f\)를 뭔가 굴곡진 함수라고 생각하고 그걸 따라 이동한다 생각해보면.. 지금 있는곳에서 \(f\) 의 등고선이 함수를 뚫고지나가면 거기는 좀 더 앞으로 가면 높낮이가 선형으로 바뀌니깐 임계점이 일단 아니다. \(f\) 가 등고선과 접하는 부분(\(\mathbf{=}\) 높이의 변화가 0)인 부분이며,
제한조건 \(g\)가 맞닿는 부분, 접하는 부분이 제한조건 \(g\)를 만족하며 \(f\)의 임계점을 찾은것이다.. \[ \nabla{f}=\lambda \nabla{g}\] 이 수식이 \(f\)의 등고선과 \(g\)의 곡선이 접하고, 두 곡선이 접점에서 동일한 접선을 공유한다는 말이며, \(\lambda\) 에는 부호가 없다.
책에서 예시하나를 베껴보자면..
\(\sqrt{x^2+y^2}\) 를 \(xy=3\)의 제한 하에서 원점으로 부터의 거리를 최소화하려면... 거리는 일단 \(f(x,y)=x^2+y^2\)로하고 제한조건을 \(g(x,y)=xy=3\)으로 한다..
\(\rightarrow\) 라그랑주 승수법에 의해 \(\nabla{f}\) 랑 \(\nabla{g}\) 평행해야하니깐.. \[ \begin{cases} f_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\\ g=c \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x=\lambda y\\ 2y=\lambda x\\ xy=3 \end{cases} \] 이걸 또 행렬로 변환하면..
\[ \begin{bmatrix} 2 & -\lambda \\ -\lambda & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \]
\[ ( M = \begin{bmatrix} 2 & -\lambda \\ -\lambda & 2 \end{bmatrix} ) \] 이라고 하면.. \(det(M)=0\) 일때 해가 존재한다!!
\(\therefore\) \(\lambda\) = \(\pm\) 2
\(\rightarrow\) 다만, 이것만 가지고 최대인지 최소인지 뭐 알수가 없다 이계도함수판정법도 제한 조건이 있으니 적용할수 없고 그냥 구한 \(\lambda\) 값을 가지고 직접 판단해봐야한다!!!..