벡터장, 선적분과.. 여러가지..
2026 Aug 11
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벡터장, 선적분과.. 여러가지..
벡터장
벡터장은 일단 다음과 같다..
\[
\vec{F} = M \hat{i} + N \hat{j}, M=M(x,y), N=N(x,y)
\]
어떤 평면에서도 \(x,y\)에 의존하는 벡터 \(\vec{F}\) 가 존재한다.. 이게 벡터장인데 그냥 벡터장이라는게 쉽게 생각하면.. 기상예보에 지도에 바람 그려놓은거 생각하면 된다.. 마치 다음의 그림과 같다..
\(\vec{F} = 2 \hat{i} + \hat{j}\) 라면 그냥 어느 위치에서든 \(\mathbf{x}\)로 2만큼 \(\mathbf{y}\) 로 1만큼 가는 모든 벡터를 다 모아놓은 벡터장인거다..
선적분
일단 간단하게 방향, 힘이 수시로 변할때 운동 과정에서 수행된 총 일의 양을 구하는거다..
\[
W=(force)(distance)=\vec{F}\cdot\Delta{\vec{r}}
\]
여기서 \(\vec{r}\)은 아주 작은 움직임도 생각하면 된다.. 궤적 \(C\)를 따라 움직이면서 하는 일을 전부 구하려고 할때.. 선적분 을 사용한다..
이건 내가 예전에 필기했던거를 캡처해온건데.. 조금 이해에 도움이 될것 같다..
\[
W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \left( \lim_{\Delta{\vec{r}} \to 0} \sum_i \vec{F} \cdot \Delta{\vec{r}_i} \right)
\]
그걸 수식으로 표현하면 위에 식이 되는것이고.. 실제 계산하려면.. 일단 궤적 \(C\) 를 시간 \(t\) 동안 움직이는 이동 경로로써 바꿔서 생각하면 된다.. 이렇게 하면 식이 다음과 같다
\[
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \right)dt
\]
그리고 이때 \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) 이거는 속도벡터다..
\(\rightarrow\) \(\frac{d\vec{r}}{dt} = \langle \frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt} \rangle\) 일것이다..
\(\mathbf{+}\) 하지만 선적분의 위에 정의를 보면 알겠지만 원래 정의 자체에는 매개변수 \(t\) 에 대한 얘기가 없다.. 따라서 계산을 위해 매개변수화를 한것이니.. 어떤 방식으로 하던 적분결과는 동일하다..
\(\rightarrow\) 이말이 뭐냐하면.. 궤적 \(C\) 를 \(2t\) 로 가던 \(t\) 로 가던 그냥 그 궤적 경로 \(C\)를 지나면서 힘에 의해 받은 일은 변하지 않으니까.. 그게 그말이다..
선적분 표기방식
\[
\vec{F}=\langle M, N \rangle , d\vec{r}=\langle dx,dy \rangle
\]
식이 다음과 같으니 아까 정의에 대입하면.. 다음과 같다..
\[
\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C Mdx+Ndy
\]
또 다른 표기법은..
\(\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\hat{T}\) 이다.. \(\frac{d\vec{r}}{ds}\) 이 \(\hat{T}\)이기 때문에.. 체인룰로 성립하는것..
\(\rightarrow\) \(d\vec{r}=\hat{T}ds\) 이니 \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_c \vec{F} \cdot \hat{T} ds\)
이렇게 하는편이 계산이 더 간단할수도 있다.
선적분의 기본정리
기본적으로 미적분의 제2 기본정리를 선적분으로 일반화한것이다..
\[
\int_C \nabla{f} \cdot d\vec{r} = f(P_1)-f(P_0)
\]
궤적 \(C\)가 \(P_0\) 에서 \(P_1\) 로 이동할때를 가정한 식이다..
우선 \(\vec{F} = \nabla{f}=f_x \hat{i}+f_y \hat{j}\) 일때 \(f\)를 잠재 함수라고 부른다.. 또한 선적분의 기본정리는 \(\vec{F}\)가 그라디언트 벡터일때 사용가능하다.
(\(\because\)) 벡터장이 \(\nabla{f} = \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \rangle\) 형태일때 체인룰 을 적용하면 내적식이 다음과 같다.
\[
\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy = df
\]
따라서 벡터장이 그라디언트 일때만 \(F \cdot dr\) 이 \(f\) 의 전미분 \(df\) 로 정리되서..깔끔한 형태로 정리되는거다.. 이거는 사실 몰라도 되고 그냥 그라디언트일때만 쓸수있다고만 알면 된다..
\(\mathbf{+}\) 그라디언트 벡터일때 이러한 특성을 가진다..
- 경로 독립성.. 시작점 \(A\)와 끝점 \(B\)만 같으면.. 중간에 어디로 가든 선적분 값이 항상 같다
- 보존성.. 시작점으로 다시 돌아오는 폐곡선을 따라 선적분하면 항상 답이 0이다..(비 보존장일때는 폐곡선을 선적분해도 0이 안나온다)
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
벡터장, 선적분과.. 여러가지..
2026 Aug 11 See all posts벡터장
벡터장은 일단 다음과 같다..
\[ \vec{F} = M \hat{i} + N \hat{j}, M=M(x,y), N=N(x,y) \] 어떤 평면에서도 \(x,y\)에 의존하는 벡터 \(\vec{F}\) 가 존재한다.. 이게 벡터장인데 그냥 벡터장이라는게 쉽게 생각하면.. 기상예보에 지도에 바람 그려놓은거 생각하면 된다.. 마치 다음의 그림과 같다..
\(\vec{F} = 2 \hat{i} + \hat{j}\) 라면 그냥 어느 위치에서든 \(\mathbf{x}\)로 2만큼 \(\mathbf{y}\) 로 1만큼 가는 모든 벡터를 다 모아놓은 벡터장인거다..
선적분
일단 간단하게 방향, 힘이 수시로 변할때 운동 과정에서 수행된 총 일의 양을 구하는거다.. \[ W=(force)(distance)=\vec{F}\cdot\Delta{\vec{r}} \] 여기서 \(\vec{r}\)은 아주 작은 움직임도 생각하면 된다.. 궤적 \(C\)를 따라 움직이면서 하는 일을 전부 구하려고 할때.. 선적분 을 사용한다..
이건 내가 예전에 필기했던거를 캡처해온건데.. 조금 이해에 도움이 될것 같다..
\[ W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \left( \lim_{\Delta{\vec{r}} \to 0} \sum_i \vec{F} \cdot \Delta{\vec{r}_i} \right) \] 그걸 수식으로 표현하면 위에 식이 되는것이고.. 실제 계산하려면.. 일단 궤적 \(C\) 를 시간 \(t\) 동안 움직이는 이동 경로로써 바꿔서 생각하면 된다.. 이렇게 하면 식이 다음과 같다 \[ \int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{t_1}^{t_2} \left( \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \right)dt \] 그리고 이때 \(\frac{d\vec{r}}{dt}\) 이거는 속도벡터다..
\(\rightarrow\) \(\frac{d\vec{r}}{dt} = \langle \frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt} \rangle\) 일것이다..
\(\mathbf{+}\) 하지만 선적분의 위에 정의를 보면 알겠지만 원래 정의 자체에는 매개변수 \(t\) 에 대한 얘기가 없다.. 따라서 계산을 위해 매개변수화를 한것이니.. 어떤 방식으로 하던 적분결과는 동일하다..
\(\rightarrow\) 이말이 뭐냐하면.. 궤적 \(C\) 를 \(2t\) 로 가던 \(t\) 로 가던 그냥 그 궤적 경로 \(C\)를 지나면서 힘에 의해 받은 일은 변하지 않으니까.. 그게 그말이다..
선적분 표기방식
\[ \vec{F}=\langle M, N \rangle , d\vec{r}=\langle dx,dy \rangle \] 식이 다음과 같으니 아까 정의에 대입하면.. 다음과 같다.. \[ \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C Mdx+Ndy \]
또 다른 표기법은.. \(\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\hat{T}\) 이다.. \(\frac{d\vec{r}}{ds}\) 이 \(\hat{T}\)이기 때문에.. 체인룰로 성립하는것..
\(\rightarrow\) \(d\vec{r}=\hat{T}ds\) 이니 \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_c \vec{F} \cdot \hat{T} ds\)
이렇게 하는편이 계산이 더 간단할수도 있다.
선적분의 기본정리
기본적으로 미적분의 제2 기본정리를 선적분으로 일반화한것이다.. \[ \int_C \nabla{f} \cdot d\vec{r} = f(P_1)-f(P_0) \]
궤적 \(C\)가 \(P_0\) 에서 \(P_1\) 로 이동할때를 가정한 식이다..
우선 \(\vec{F} = \nabla{f}=f_x \hat{i}+f_y \hat{j}\) 일때 \(f\)를 잠재 함수라고 부른다.. 또한 선적분의 기본정리는 \(\vec{F}\)가 그라디언트 벡터일때 사용가능하다. (\(\because\)) 벡터장이 \(\nabla{f} = \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \rangle\) 형태일때 체인룰 을 적용하면 내적식이 다음과 같다. \[ \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy = df \]
따라서 벡터장이 그라디언트 일때만 \(F \cdot dr\) 이 \(f\) 의 전미분 \(df\) 로 정리되서..깔끔한 형태로 정리되는거다.. 이거는 사실 몰라도 되고 그냥 그라디언트일때만 쓸수있다고만 알면 된다..
\(\mathbf{+}\) 그라디언트 벡터일때 이러한 특성을 가진다..