회전[Curl]과 잠재함수 찾는것.. 여러가지..
2026 Aug 11
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회전[Curl]과 잠재함수 찾는것.. 여러가지..
벡터장 그라디언트인지
벡터장이 그라디언트인지 판단하는법은.. \(\vec{F}=M \hat{i} + N \hat{j}\) 일때.. \(N_x = M_y\) 인지를 보면된다..
\(\because\) \(\vec{F}=\nabla{f}\) 라면 \(M=f_x,N=f_y\)이니 \(M_y=f_{xy}=f_{yx}=N_x\)
잠재함수를 찾는법
일단 벡터장이 그라디언트 벡터임을 확인하고 나면 잠재함수를 찾는 2가지 방법이 존재한다..
선적분을 활용
궤적 \(C\)가 \((0,0)\) 에서 \((x_1,y_1)\) 으로 가면 선적분의 기본정리에 의하여 \(\int_c \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(x_1,y_1)-f(0,0)\) 임이 자명하다.. 근데 \(f(0,0)\) 은 의미가 없다.. 왜냐면 잠재함수라 하는거는 값이 중요한게 아니라 변화량 즉 기울기만 의미를 같기 때문이다.. 따라서 \(f(0,0)\)를 적분상수라고 취급하고 생략하고 계산해도 상관없다..
\(\rightarrow\) \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1+C_2} (4x^2+8xy) dx + (3y^2+4x^2)dy\) 로 두고
\(\rightarrow\) \(0 \leq x \leq x_1, y=0,dy=0\) 일때, \(\int_{C_1} (4x^2) dx=\frac{4{x_1}^3}{3}\)
\(\rightarrow\) \(0 \leq y \leq y_1, x=x_1, dx=0\)일때, \(\int_{C_2} (3y^2+4{x_1}^2) dy={y_1}^3+4{x_1}^2{y_1}\)
(\(\therefore\)) \(f(x_1,y_1)=\frac{4{x_1}^3}{3}+{y_1}^3+4{x_1}^2{y_1}+C\)
적분을 활용
기본적으로 \(f_x=4x^2+8xy, f_y=3y^2+4x^2\)임은 알수 있다.. 그냥 이거 다 적분하면
(\(\therefore\)) \(\frac{4x^3}{3}+4x^2y+y^3+C\)
회전(Curl)
아까 \(N_x = M_y\) 로 \(\vec{F}\) 가 보존적이라는거는 판단이 설꺼고 이때 궤적 \(C\)가 폐곡선이면 다음과 같다.
\[
\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}
\]
보존성을 체크하는 다른 방법은 \(\vec{F}\)의 \(\text{curl}\) 을 확인하면 된다!! 그리고 \(\text{curl}\)의 정의는 다음과 같다.
\[
curl(\vec{F})=N_x-M_y
\]
보존장이라면 \(\text{curl}(\vec{F})=N_x-M_y=0\) 이다. 더불어.. 벡터장이 실수 전체에 정의될때 \(0\) 이면 보존장이라는 논리를 사용할수있다..
\(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} =0\) 이라고 폐곡선인건 아니다.. \(\vec{F} = \nabla{f}, f(x,y)=x^2+y^2\) 이라하고 곡선 \(C\) 를 \((1,0)~(-1,0)\) 으로 간다고하면 선적분 값은 \(0\) 이다..
뭔가 기하적인 의미는.. 나도 공부를 하고 써보겠다..
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
회전[Curl]과 잠재함수 찾는것.. 여러가지..
2026 Aug 11 See all posts벡터장 그라디언트인지
벡터장이 그라디언트인지 판단하는법은.. \(\vec{F}=M \hat{i} + N \hat{j}\) 일때.. \(N_x = M_y\) 인지를 보면된다..
\(\because\) \(\vec{F}=\nabla{f}\) 라면 \(M=f_x,N=f_y\)이니 \(M_y=f_{xy}=f_{yx}=N_x\)
잠재함수를 찾는법
일단 벡터장이 그라디언트 벡터임을 확인하고 나면 잠재함수를 찾는 2가지 방법이 존재한다..
선적분을 활용
궤적 \(C\)가 \((0,0)\) 에서 \((x_1,y_1)\) 으로 가면 선적분의 기본정리에 의하여 \(\int_c \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(x_1,y_1)-f(0,0)\) 임이 자명하다.. 근데 \(f(0,0)\) 은 의미가 없다.. 왜냐면 잠재함수라 하는거는 값이 중요한게 아니라 변화량 즉 기울기만 의미를 같기 때문이다.. 따라서 \(f(0,0)\)를 적분상수라고 취급하고 생략하고 계산해도 상관없다..
\(\rightarrow\) \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1+C_2} (4x^2+8xy) dx + (3y^2+4x^2)dy\) 로 두고
\(\rightarrow\) \(0 \leq x \leq x_1, y=0,dy=0\) 일때, \(\int_{C_1} (4x^2) dx=\frac{4{x_1}^3}{3}\)
\(\rightarrow\) \(0 \leq y \leq y_1, x=x_1, dx=0\)일때, \(\int_{C_2} (3y^2+4{x_1}^2) dy={y_1}^3+4{x_1}^2{y_1}\)
(\(\therefore\)) \(f(x_1,y_1)=\frac{4{x_1}^3}{3}+{y_1}^3+4{x_1}^2{y_1}+C\)
적분을 활용
기본적으로 \(f_x=4x^2+8xy, f_y=3y^2+4x^2\)임은 알수 있다.. 그냥 이거 다 적분하면
(\(\therefore\)) \(\frac{4x^3}{3}+4x^2y+y^3+C\)
회전(Curl)
아까 \(N_x = M_y\) 로 \(\vec{F}\) 가 보존적이라는거는 판단이 설꺼고 이때 궤적 \(C\)가 폐곡선이면 다음과 같다. \[ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \]
보존성을 체크하는 다른 방법은 \(\vec{F}\)의 \(\text{curl}\) 을 확인하면 된다!! 그리고 \(\text{curl}\)의 정의는 다음과 같다. \[ curl(\vec{F})=N_x-M_y \] 보존장이라면 \(\text{curl}(\vec{F})=N_x-M_y=0\) 이다. 더불어.. 벡터장이 실수 전체에 정의될때 \(0\) 이면 보존장이라는 논리를 사용할수있다..
\(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} =0\) 이라고 폐곡선인건 아니다.. \(\vec{F} = \nabla{f}, f(x,y)=x^2+y^2\) 이라하고 곡선 \(C\) 를 \((1,0)~(-1,0)\) 으로 간다고하면 선적분 값은 \(0\) 이다..
뭔가 기하적인 의미는.. 나도 공부를 하고 써보겠다..