야코비안 행렬, 좌표 치환과.. 여러가지..
2026 Aug 11
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야코비안 행렬, 좌표 치환과.. 여러가지..
좌표치환
\[
\iint_{(x/a)^2+(y/b)^2<1} dxdy =ab \iint_{u^2+v^2<1} dudv=\pi ab
\]
$ u=\frac{x}{a}, v=\frac{y}{b}$ 로 치환하면 이런식으로 가능할것이다.. 고등학교때도 해봐서 느낌 알것이다..
선형변환으로 좀 더 편한 상황에서 적분을 수행할수 있다..
\(\mathbf{+}\) 좀 더 알아야할 부분은.. \(x,v \rightarrow u,v\) 로 좌표를 바꾸는게 복잡해도 아주 가까이서 보면 변환이 그냥 선형적인 변환으로 보인다.. 도형이 곡면이여도 존나 가까이서 보면 그냥 선이 늘어나는걸로 보인다 이거다.. 그리고 선형 변환은 도형의 모양이랑 위치랑 관계없이 항상 같은 배율로 늘리거나 줄인다.. 어떤 선형변환이 넓이를 3배로 만든다면..
- 정사각형(넓이 1) \(\rightarrow\) 편행사변형(넓이 3)
- 원(넓이 \(\pi\)) \(\rightarrow\) 타원(넓이 3 \(\pi\))
이 된다.. 그래서 결론은
\((x,y)\)의 작은 사각형 \(\Delta{A} = \Delta{x} \Delta{y}\) 가 \((u,v)\) 좌표 에서 평행사변형 \(\Delta{A^′}\) 이 될때.. 이 둘 사이의 비율은 다음과 같을 것이다.
\[ \frac{\Delta{A^′}}{\Delta{A}}\]
어떤 도형을 잡아도 거의 같은 값이 나온다.. 변환이 선형변환으로 근사되고 선형변환은 도형에 관계없이 같은 배율로 넓이를 바꾸기 때문이다..
그니깐 계산을 편하게 하기 위해 가장 단순한 도형인 단위 정사각형을 잡고 비율을 계산하면 된다.. 그게 바로 다음의 식인 야코비안 행렬식이다..
\[
\left| J \right| = \left| \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \right| =
\begin{bmatrix}
u_x & u_y\\
v_x & v_y
\end{bmatrix}
\]
야코비안 행렬식
\[
\left| J \right| = \left| \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \right| =
\begin{bmatrix}
u_x & u_y\\
v_x & v_y
\end{bmatrix}
\]
이 야코비안 행렬식 이라는것 자체가 원래 도형과 변환 된 도형 사이의 비율을 나타낸거니깐.. 다음과 같게 되는것이 자명하다..
\[ dudv=|J|dxdy \]
\(\rightarrow\) 치환할때 야코비안 행렬식 을 사용하면 비율을 원래대로 돌리면서 계산할수 있을것이다..
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
야코비안 행렬, 좌표 치환과.. 여러가지..
2026 Aug 11 See all posts좌표치환
\[ \iint_{(x/a)^2+(y/b)^2<1} dxdy =ab \iint_{u^2+v^2<1} dudv=\pi ab \] $ u=\frac{x}{a}, v=\frac{y}{b}$ 로 치환하면 이런식으로 가능할것이다.. 고등학교때도 해봐서 느낌 알것이다..
선형변환으로 좀 더 편한 상황에서 적분을 수행할수 있다..
\(\mathbf{+}\) 좀 더 알아야할 부분은.. \(x,v \rightarrow u,v\) 로 좌표를 바꾸는게 복잡해도 아주 가까이서 보면 변환이 그냥 선형적인 변환으로 보인다.. 도형이 곡면이여도 존나 가까이서 보면 그냥 선이 늘어나는걸로 보인다 이거다.. 그리고 선형 변환은 도형의 모양이랑 위치랑 관계없이 항상 같은 배율로 늘리거나 줄인다.. 어떤 선형변환이 넓이를 3배로 만든다면..
이 된다.. 그래서 결론은
\((x,y)\)의 작은 사각형 \(\Delta{A} = \Delta{x} \Delta{y}\) 가 \((u,v)\) 좌표 에서 평행사변형 \(\Delta{A^′}\) 이 될때.. 이 둘 사이의 비율은 다음과 같을 것이다. \[ \frac{\Delta{A^′}}{\Delta{A}}\] 어떤 도형을 잡아도 거의 같은 값이 나온다.. 변환이 선형변환으로 근사되고 선형변환은 도형에 관계없이 같은 배율로 넓이를 바꾸기 때문이다..
그니깐 계산을 편하게 하기 위해 가장 단순한 도형인 단위 정사각형을 잡고 비율을 계산하면 된다.. 그게 바로 다음의 식인 야코비안 행렬식이다..
\[ \left| J \right| = \left| \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \right| = \begin{bmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{bmatrix} \]
야코비안 행렬식
\[ \left| J \right| = \left| \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} \right| = \begin{bmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{bmatrix} \] 이 야코비안 행렬식 이라는것 자체가 원래 도형과 변환 된 도형 사이의 비율을 나타낸거니깐.. 다음과 같게 되는것이 자명하다.. \[ dudv=|J|dxdy \]
\(\rightarrow\) 치환할때 야코비안 행렬식 을 사용하면 비율을 원래대로 돌리면서 계산할수 있을것이다..