단순 연결 공간과 여러가지..
2026 Aug 13
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단순 연결 공간과 여러가지..
그린 정리가 성립하려면.. \(\vec{F}\) 는 궤적 \(C\) 가 영역 \(R\) 을 다 포함하도록 정의되어야한다..
\[\vec{F} = \frac{-y \hat{i} +x \hat{j}}{x^2+y^2}\]
벡터장이 다음과 같을때..
\[
\text{curl}(\vec{F}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{x^2+y^2}) - \frac{\partial}{\partial y}(\frac{-y}{x^2+y^2})=0
\]
계산해보면 \(\text{curl}\) 이 저렇게 되는데 선적분은 그냥 하던대로 한번 해보면 \(x=cost,y=sint\) 로 매개변수로 해서 계산하면 2\(\pi\) 가 된다..(\(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이고 \(\vec{F}\) 가 보존장이면 그린정리에 의해 선적분이 \(0\) 이 되어야하는게 아닌가??)
왜냐하면.. \((0,0)\) 에서 분모가 \(0\) 이 되니.. \(\vec{F}\) 자체가 정의가 안되어 버리는 문제가 있다!!
\(\rightarrow\) 그린 정리를 쓰려면 모든 점에서 미분 가능하고 연속이여야한다.. 따라서 \(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이기에 보존장 일것같지만.. 보존장이 아니다
\(\rightarrow\) 단순 연결 공간 이 아니다..
(\(\therefore\)) \((0,0)\) 이라는 구멍이 뚫려있기에 원점을 둘러싸는 경로에서는 적분값이 \(0\) 이 아니라 원점을 주위로 회전한 각도 만큼의 값인 2\(\pi\)가 나온다..
단순 연결 공간
단순 연결 공간이란.. 직관적으로 영역 내부에 빈 공간이 하나도 없는 공간을 말한다..
영역 \(R\) 안에 고무줄(폐곡선)이 있다 할때.. 영역 안에 고무줄을 뭐 어케 그리든 영역 \(R\) 을 벗어나지 않고 한점으로 찌그러트릴수 있으면 단순 연결 공간 이다.. 중간에 구멍이 있어서 방해가 되면 아니다..
(\(\therefore\)) \(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이며 단순 연결 공간 일때.. \(\vec{F}\)가 보존장임을 확신할수 있다..
아주대학교 소프트웨어학과 김현석
jasnot@skipset.com
단순 연결 공간과 여러가지..
2026 Aug 13 See all posts그린 정리가 성립하려면.. \(\vec{F}\) 는 궤적 \(C\) 가 영역 \(R\) 을 다 포함하도록 정의되어야한다..
\[\vec{F} = \frac{-y \hat{i} +x \hat{j}}{x^2+y^2}\]
벡터장이 다음과 같을때.. \[ \text{curl}(\vec{F}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{x^2+y^2}) - \frac{\partial}{\partial y}(\frac{-y}{x^2+y^2})=0 \] 계산해보면 \(\text{curl}\) 이 저렇게 되는데 선적분은 그냥 하던대로 한번 해보면 \(x=cost,y=sint\) 로 매개변수로 해서 계산하면 2\(\pi\) 가 된다..(\(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이고 \(\vec{F}\) 가 보존장이면 그린정리에 의해 선적분이 \(0\) 이 되어야하는게 아닌가??)
왜냐하면.. \((0,0)\) 에서 분모가 \(0\) 이 되니.. \(\vec{F}\) 자체가 정의가 안되어 버리는 문제가 있다!!
\(\rightarrow\) 그린 정리를 쓰려면 모든 점에서 미분 가능하고 연속이여야한다.. 따라서 \(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이기에 보존장 일것같지만.. 보존장이 아니다
\(\rightarrow\) 단순 연결 공간 이 아니다..
(\(\therefore\)) \((0,0)\) 이라는 구멍이 뚫려있기에 원점을 둘러싸는 경로에서는 적분값이 \(0\) 이 아니라 원점을 주위로 회전한 각도 만큼의 값인 2\(\pi\)가 나온다..
단순 연결 공간
단순 연결 공간이란.. 직관적으로 영역 내부에 빈 공간이 하나도 없는 공간을 말한다..
영역 \(R\) 안에 고무줄(폐곡선)이 있다 할때.. 영역 안에 고무줄을 뭐 어케 그리든 영역 \(R\) 을 벗어나지 않고 한점으로 찌그러트릴수 있으면 단순 연결 공간 이다.. 중간에 구멍이 있어서 방해가 되면 아니다..
(\(\therefore\)) \(\text{curl}(\vec{F})=0\) 이며 단순 연결 공간 일때.. \(\vec{F}\)가 보존장임을 확신할수 있다..